Chapter2-1：矩阵的谱半径及应用

谱半径

设$A \in C^{n \times n}$，$\lambda_{1},\lambda_{2},…,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值，则矩阵$A$的谱半径为：

$\rho(A)=\max\limits_{j}|\lambda_{j}|$

注：谱半径只是矩阵上的一个函数，但并不是矩阵范数。

定理：$\rho(A) \leq ||A||$

证明：

设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，则有：

$||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||=||Ax|| \leq ||A|| \cdot ||x||$

因此有

$|\lambda|\leq ||A||$

故：

$\rho(A) \leq ||A||$

定理：设$A \in C^{n \times n}$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在矩阵范数$||.||_{m}$使得：

$||A||_{m} \leq \varepsilon+\rho(A)$

例题：

对于$A \in C^{n \times n}$，证明：$||A||_{2} \leq max\{||A||_{1},||A||_{\infty}\}$

证明：

$||A_{2}|| = \sqrt{\rho(A^HA)}\leq \sqrt{||A^HA||_{1}} \leq \sqrt{||A^H||_{1}\cdot ||A||_{1}} \leq \sqrt{||A||_{\infty}||A||_{1}} \leq max\{||A||_{1},||A||_{\infty}\}$
当$A$是正规矩阵时，$\rho(A)=||A||_{2}$

证明：

当$A$是正规矩阵时，则$A$可以被酉矩阵$U$对角化，也即：

$U^HAU=P$，其中$P$为对角阵。

则$A=UPU^H$，故$||A||_{2}= \sqrt{\rho(A^HA)} = \sqrt{\rho(U^HP^HPU)} = \sqrt{\rho(P^HP)} = \rho(A)$。

对于矩阵$A \in C^{n \times n}$，如果$\lim\limits_{k \rightarrow \infty}A^{k}=0$，则$A$为收敛矩阵。

收敛矩阵的充要条件是$\rho(A) <1 $。

设$\{A^{k}\}_{k=1}^{\infty}$是$C^{n \times n}$上的矩阵序列，则无穷和式：

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}A^{(k)}$

称为矩阵级数。

设$A^(k)=(a_{i,j}^k) \in C^{n \times n },(k=1,2,…,)$如果$n^2$个数项级数

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{i,j}^{(k)},i,j=1,2,...,n$

均绝对收敛，则矩阵级数

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}A^{(k)}$

绝对收敛。

设$A \in C^{n \times n},a_{k} \in C(k=0,1,….)$，则称：

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{k}A^{k}$

为矩阵$A$的幂级数。

设复变量幂级数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}z^{k}$的收敛半径为$R$，$A \in C^ {n \times n}$则：

收敛半径的计算：

$R=\frac{1}{\lim\limits_{k \rightarrow\infty}|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}|}$