高等工程数学笔记-2

Chapter2-1:矩阵的谱半径及应用

谱半径

设$A \in C^{n \times n}$,$\lambda_{1},\lambda_{2},…,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值,则矩阵$A$的谱半径为:

注:谱半径只是矩阵上的一个函数,但并不是矩阵范数。

定理:$\rho(A) \leq ||A||$

证明:

设$\lambda$是矩阵$A$的特征值,则有:

因此有

故:

定理:设$A \in C^{n \times n}$,对任意的 $\varepsilon>0$,存在矩阵范数$||.||_{m}$使得:

例题:

  • 对于$A \in C^{n \times n}$,证明:$||A||_{2} \leq max\{||A||_{1},||A||_{\infty}\}$

    证明:

    $||A_{2}|| = \sqrt{\rho(A^HA)}\leq \sqrt{||A^HA||_{1}} \leq \sqrt{||A^H||_{1}\cdot ||A||_{1}} \leq \sqrt{||A||_{\infty}||A||_{1}} \leq max\{||A||_{1},||A||_{\infty}\}$

  • 当$A$是正规矩阵时,$\rho(A)=||A||_{2}$

    证明:

    当$A$是正规矩阵时,则$A$可以被酉矩阵$U$对角化,也即:

    $U^HAU=P$,其中$P$为对角阵。

    则$A=UPU^H$,故$||A||_{2}= \sqrt{\rho(A^HA)} = \sqrt{\rho(U^HP^HPU)} = \sqrt{\rho(P^HP)} = \rho(A)$。

序列矩阵在级数中的应用

收敛矩阵

对于矩阵$A \in C^{n \times n}$,如果$\lim\limits_{k \rightarrow \infty}A^{k}=0$,则$A$为收敛矩阵。

收敛矩阵的充要条件是$\rho(A) <1 $。

矩阵级数

设$\{A^{k}\}_{k=1}^{\infty}$是$C^{n \times n}$上的矩阵序列,则无穷和式:

称为矩阵级数。

设$A^(k)=(a_{i,j}^k) \in C^{n \times n },(k=1,2,…,)$如果$n^2$个数项级数

均绝对收敛,则矩阵级数

绝对收敛。

矩阵幂级数

设$A \in C^{n \times n},a_{k} \in C(k=0,1,….)$,则称:

为矩阵$A$的幂级数。

矩阵幂级数散敛性的判断:

设复变量幂级数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}z^{k}$的收敛半径为$R$,$A \in C^ {n \times n}$则:

  • $\rho(A)<R$的时候:矩阵幂级数$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{k}A^{k}$绝对收敛
  • $\rho(A)>R$的时候:矩阵幂级数$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{k}A^{k}$发散

收敛半径的计算: