Chapter3-1: 矩阵的标准型与特征值计算

Jordan标准型

形如：

$J_{i} = \left[ \begin{matrix} \lambda_{i} & 1 \\ & \lambda_{i} & 1 \\ & & ... \\ & & &\lambda_{i}\\ \end{matrix} \right]_{r_{i} \times r_{i}}$

的矩阵被称为 $r_{i}$ 阶Jordan块。由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵成为Jordan标准型：

$J = \left[ \begin{matrix} J_{1} \\ & J_{2} \\ & & J_{3} \\ &&&... \\&&&& J_{s} \end{matrix} \right]$

Jordan定理

设 $A \in C^{n \times n}$ ，则 $A$ 与一个Jordan标准型相似，即存在 $P \in C_{n} ^{n \times n}$ 使得 $P^{-1}AP=J$ 。且这个Jordan标准型除了其中的Jordan块的排列顺序外被 $A$ 唯一决定。则称其为 $A$ 的Jordan标准型，记为 $J_{A}$ 。

Jordan标准型及相似变换矩阵的求解

设 $a_{ij}(\lambda)(i=1,2,3…m;j=1,2,3…,n)$ ，为复数域上的多项式，则以 $a_{ij}(\lambda)$ 为元素的 $m \times n$ 阶矩阵

$A(\lambda) = \left[ \begin{matrix}a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & ... & a_{1n}(\lambda) \\ ... \\ a_{m1}(\lambda) & a_{m2}(\lambda) & ... & a_{mn}(\lambda)\end{matrix} \right]$

为 $\lambda$ 矩阵或者多项式矩阵。

如果 $\lambda$ 矩阵 $A(\lambda)$ 存在一个 $r(r \geq 1)$ 阶子式为非零多项式，而所有的 $r+1$ （如果存在）阶子式全为零多项式，则称 $A(\lambda)$ 的秩为 $r$ ，记作:

$\rank(A(\lambda))=r$ 或者 $r_{A(\lambda)}=r$ 。零矩阵的秩为0。

如果 $n$ 阶矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为 $n$ ，则 $A(\lambda)$ 满秩或非奇异，否则称 $A(\lambda)$ 降秩或者奇异的。

初等行变化/列变换

交换两行(列)
用 $k(k \neq 0)$ 数乘某行/列的所有元素
某行(列)的 $\varphi(\lambda)$ 倍加到零一行(列)

如果 $\lambda$ 矩阵 $A(\lambda)$ 经过有限次初等变换变成 $\lambda$ 矩阵 $B(\lambda)$ ，则称 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 矩阵等价，记作 $A \simeq B$ 。

定理：

任意非零的 $\lambda$ 矩阵 $A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))_{m \times n}$ 等价于如下形式的矩阵：

$A(\lambda) \simeq S(\lambda)=\left( \begin{matrix} d_{1}(\lambda) \\ & d_{2}(\lambda) \\ & & ...\\ &&& d_{r}(\lambda) \\ & & & & ... \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & 0 \end{matrix} \right)$

其中 $r$ 为 $A(\lambda)$ 的秩， $d_{i}(\lambda)$ 是首项系数为1的多项式，且 $d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,…,r-1)$ 。

$S(\lambda)$ 被称为 $A(\lambda)$ 的Smith标准型， $d_{i}(\lambda)$ 成为 $A(\lambda)$ 的不变因子。

例题：

求 $\lambda$ 矩阵

$A(\lambda)=\left( \begin{matrix}1-\lambda & 2\lambda-1 & \lambda \\ \lambda & \lambda^2 & -\lambda \\1+\lambda^2 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{matrix} \right )$

的Smith标准型和不变因子：

因此所求的Smith标准型为：

$S(\lambda) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^3+\lambda \end{matrix} \right)$

不变因子为： $d_{1}(\lambda)=1,d_{2}(\lambda)=\lambda,d_{3}(\lambda)=\lambda^3+\lambda$ 。