高等工程数学笔记-4

Chapter3-1: 矩阵的标准型与特征值计算

Jordan标准型

形如:

的矩阵被称为$r_{i}$阶Jordan块。由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵成为Jordan标准型:

Jordan定理

设$A \in C^{n \times n}$,则$A$与一个Jordan标准型相似,即存在$P \in C_{n} ^{n \times n}$使得$P^{-1}AP=J$。且这个Jordan标准型除了其中的Jordan块的排列顺序外被$A$唯一决定。则称其为$A$的Jordan标准型,记为$J_{A}$。

Jordan标准型及相似变换矩阵的求解

设$a_{ij}(\lambda)(i=1,2,3…m;j=1,2,3…,n)$,为复数域上的多项式,则以$a_{ij}(\lambda)$为元素的 $m \times n$阶矩阵

为$\lambda$矩阵或者多项式矩阵。

如果$\lambda$矩阵$A(\lambda)$存在一个$r(r \geq 1)$阶子式为非零多项式,而所有的$r+1$(如果存在)阶子式全为零多项式,则称$A(\lambda)$的秩为$r$,记作:

$\rank(A(\lambda))=r$或者$r_{A(\lambda)}=r$。零矩阵的秩为0。

如果$n$阶矩阵$A(\lambda)$的秩为$n$,则$A(\lambda)$满秩或非奇异,否则称$A(\lambda)$降秩或者奇异的。

初等行变化/列变换

  • 交换两行(列)
  • 用$k(k \neq 0)$数乘某行/列的所有元素
  • 某行(列)的$\varphi(\lambda)$倍加到零一行(列)

如果$\lambda$矩阵$A(\lambda)$经过有限次初等变换变成$\lambda$矩阵$B(\lambda)$,则称$A(\lambda)$与$B(\lambda)$矩阵等价,记作$A \simeq B$。

定理:

任意非零的$\lambda$矩阵$A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))_{m \times n}$等价于如下形式的矩阵:

其中$r$为$A(\lambda)$的秩,$d_{i}(\lambda)$是首项系数为1的多项式,且$d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,…,r-1)$。

$S(\lambda)$被称为$A(\lambda)$的Smith标准型,$d_{i}(\lambda)$成为$A(\lambda)$的不变因子。

例题:

求$\lambda$矩阵

的Smith标准型和不变因子:

image.png

因此所求的Smith标准型为:

不变因子为:$d_{1}(\lambda)=1,d_{2}(\lambda)=\lambda,d_{3}(\lambda)=\lambda^3+\lambda$。