LC878. 第N个神奇数字

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LC 878. 第 N 个神奇数字

题面

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 10^9 + 7 取模 后的值。

题解

  • 假设最终答案为$x$，如果$x \% a = 0$，则说明有$k= \frac{x}{a}$个可以被$a$整除的数字，有$m = \frac{x}{b}$个可以被$b$整除的数字
  • $k + m = n$?
  • 有重复数字需要去除，令$p = lcm(a, b)$，则有$min(\frac{a \times k}{p}, \frac{b \times m}{p})$个重复计算的数字
  • 因此一定有$k + m - min(\frac{a \times k}{p}, \frac{b \times m}{p}) = n$
  • 若令$f(x) = k + m - min(\frac{a \times k}{p}, \frac{b \times m}{p})$， $f(x)$单调
  • 二分答案（若$x \% b =0$, 同理）

代码

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const int mod = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
    int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        long long lcm = a / __gcd(a, b) * b;
        auto check_a = [=](long long k) -> long long{
            long long a_max = a * k;
            long long m = a_max / b;
            long long b_max = b * m;
            long long res = k + m - min(a_max / lcm, b_max / lcm);
            return res;
        };

        auto check_b = [=](long long m) -> long long{
            long long b_max = b * m;
            long long k = b_max / a;
            long long a_max = a * k;
            long long res = k + m - min(a_max / lcm, b_max / lcm);
            return res;
        };

        //假设答案是被a整除
        long long l = 1;
        long long r = 1e10;
        for(int steps = 1; steps <= 60; steps++){
            long long mid = (l + r) >> 1;
            if(check_a(mid) >= n){
                r = mid;
            }else{
                l = mid;
            }
        }
        if(check_a(r) == n){
            r %= mod;
            return (a * r) % mod;
        }
        //假设答案是被b整除
        l = 1;
        r = 1e10;
        for(int steps = 1; steps <= 60; steps++){
            long long mid = (l + r) >> 1;
            if(check_b(mid) >= n){
                r = mid;
            }else{
                l = mid;
            }
        }
        assert(check_b(r) == n);
        r %= mod;
        return (b * r) % mod;
    }
};