Chapter2-2: 矩阵的条件数及应用

定义

设 $A \in C^{n \times n}_{n}$ ， $||.||$ 是 $C^{n \times n}$ 上的一个矩阵范数，则矩阵 $A$ 的的条件数定义为：

$cond(A)=||A|| \cdot ||A^{-1}||$

若 $cond(A)$ 较小（接近1），则 $A$ 关于求解矩阵逆或求解线性方程组为良好的或好条件的，如果 $cond(A)$ 比较大，则称 $A$ 关于求解矩阵逆或求解线性方程组为病态的或坏条件的。

常用的条件数：

$cond_{\infty}(A) = ||A||_{\infty} ||A^{-1}||_{\infty}$

$cond_{2}(A)=||A||_{2}||A^{-1}||_{2} = \sqrt{\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{n}}}$

其中 $\lambda_{1},\lambda_{n}$ 分别为矩阵 $A^HA$ 的最大和最小的特征值。

特别的，如果 $A$ 是正规矩阵，则有：

$cond_{2}(A)=||A||_{2}||A^{-1}||_{2}=\frac{\max\{\lambda\}}{\min\{\lambda\}}$

其中 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。

例题：

设 $A =\left[ \begin{matrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{matrix} \right]$ ，选取 $C^{3 \times 3}$ 上的范数 $||.||_{\alpha}$ 使得：

$k_{\alpha}(A) = ||A||_{\alpha}||A^{-1}||_{\alpha}$

最小。

解析：

$A$ 是对称矩阵，因此有 $\rho(A) =||A||_{2} \leq ||A||$

因此选择2范数能使 $k_{\alpha}(A)$ 最小。

误差分析

设 $A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n}$ ，若对于 $C^{n \times n}$ 上的某一范数矩阵 $||.||$ 有 $||A^{-1} \delta A|| <1$ ，则有：

$A+\delta A$ 可逆
$||(A+\delta A)^{-1}|| \leq \frac{||A^{-1}||}{1-||A^{-1} \delta A||}$
$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A)^{-1}||}{||A^{-1}||} \leq \frac{||A^-1 \delta A||}{1-||A^{-1} \delta A||}$

推论：

设 $A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n}$ ,若对 $C^{n \times n}$ 上某矩阵范数 $||.||$ 有： $||A^{-1}||||\delta A|| < 1$ ，则（相对误差）：

$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A)^{-1}||}{||A^{-1}||} \leq \frac{cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}$

定理*：

设 $A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n},b, \delta b \in C^n$ ，如果对于 $C^{n \times n}$ 上的某范数 $||.||$ 有 $||A^{-1}||||\delta A|| < 1$ ,则有：

$Ax=b$ 的解和 $(A+ \delta A) \hat{x} = (b+\delta b)$ 的解满足：

$\frac{||x-\hat{x}||_{\alpha}}{||x||_{\alpha}} \leq \frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}(\frac{||\delta A||}{||A||}+\frac{||\delta b||_{\alpha}}{||b||_{\alpha}})$

其中 $||.||_{\alpha}$ 是 $C^{n}$ 上与矩阵范数 $||.||$ 相容的向量范数。