Chapter2-2: 矩阵的条件数及应用

定义

设$A \in C^{n \times n}_{n}$，$||.||$是$C^{n \times n}$上的一个矩阵范数，则矩阵$A$的的条件数定义为：

$cond(A)=||A|| \cdot ||A^{-1}||$

若$cond(A)$较小（接近1），则$A$关于求解矩阵逆或求解线性方程组为良好的或好条件的，如果$cond(A)$比较大，则称$A$关于求解矩阵逆或求解线性方程组为病态的或坏条件的。

常用的条件数：

$cond_{\infty}(A) = ||A||_{\infty} ||A^{-1}||_{\infty}$ $cond_{2}(A)=||A||_{2}||A^{-1}||_{2} = \sqrt{\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{n}}}$

其中$\lambda_{1},\lambda_{n}$分别为矩阵$A^HA$的最大和最小的特征值。

特别的，如果$A$是正规矩阵，则有：

$cond_{2}(A)=||A||_{2}||A^{-1}||_{2}=\frac{\max\{\lambda\}}{\min\{\lambda\}}$

其中$\lambda$是$A$的特征值。

例题：

设$A =\left[ \begin{matrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{matrix} \right]$，选取$C^{3 \times 3}$上的范数$||.||_{\alpha}$使得：

$k_{\alpha}(A) = ||A||_{\alpha}||A^{-1}||_{\alpha}$

最小。

解析：

$A$ 是对称矩阵，因此有$\rho(A) =||A||_{2} \leq ||A||$

因此选择2范数能使$k_{\alpha}(A)$最小。

误差分析

设$A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n}$，若对于$C^{n \times n}$上的某一范数矩阵$||.||$有$||A^{-1} \delta A|| <1$，则有：

$A+\delta A$可逆
$||(A+\delta A)^{-1}|| \leq \frac{||A^{-1}||}{1-||A^{-1} \delta A||}$
$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A)^{-1}||}{||A^{-1}||} \leq \frac{||A^-1 \delta A||}{1-||A^{-1} \delta A||}$

推论：

设$A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n}$,若对$C^{n \times n}$上某矩阵范数$||.||$有：$||A^{-1}||||\delta A|| < 1$，则（相对误差）：

$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A)^{-1}||}{||A^{-1}||} \leq \frac{cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}$

定理*：

设$A \in C_{n}^{n \times n}, \delta A \in C^{n \times n},b, \delta b \in C^n$，如果对于$C^{n \times n}$上的某范数$||.||$有$||A^{-1}||||\delta A|| < 1$,则有：

$Ax=b$的解和$(A+ \delta A) \hat{x} = (b+\delta b)$的解满足：

$\frac{||x-\hat{x}||_{\alpha}}{||x||_{\alpha}} \leq \frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}(\frac{||\delta A||}{||A||}+\frac{||\delta b||_{\alpha}}{||b||_{\alpha}})$

其中$||.||_{\alpha}$是$C^{n}$上与矩阵范数$||.||$相容的向量范数。